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Epreuve Ecrite Ecole Polytechnique (English version)

(Première composition M' 1986). Durée 4h

(voir aussi ENS-LYON 1990 M' 1ere épreuve)

Note UPS: la réponse à la question III.5.c est inconnue .....

Notes de l'auteur (mise à jour 2003-09-17):

Télécharger le sujet et la correction au formats pdf ou LaTeX

Correction succinte

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L'objet du problème est d'étudier les solutions réelles maximales de l'équation différencielle:
(E) xy¢¢ + 2y¢  x

y
 = 0

ou x est une variable réelle. Toutes les solutions de E considérées sont à valeurs réelles.
Si l'on excepte la question III.6, les parties I, II, et III sont indépendantes les unes des autres.

I

I.1 Comment une solution de (E) dont le graphe est inclus dans le demi-plan défini par l'inégalité x < 0 peut-elle se déduire d'une solution dont le graphe est inclus dans le demi-plan défini par x > 0 ? (Corrigé)

I.2 Soit l un réel non nul fixé et j une solution maximale de (E) définie sur un interval auquel 1 appartient. Comment déduit-on de j la solution maximale j l telle que jl (l)=lj(1) et j¢l (l)=j¢(1) ? (Corrigé)

I.3 Comment les solutions de (E) dont les graphes sont inclus dans l'un des quarts de plan respectivement définis par les couples d'inégalités (x < 0,y > 0) , (x < 0,y < 0) , (x > 0,y > 0) peuvent-elles se déduire de solutions dont le graphe est inclus dans le quart de plan défini par (x > 0,y > 0) ? (Corrigé)

II

Soit S l'ensemble des solutions de (E) dont le graphe est inclus dans le quart de plan défini par les inégalités (x > 0,y > 0), et qui, de plus, sont des solutions maximales pour ce quart de plan.

II.1 Soit j Î S, définie sur un intervalle ouvert I=]a,b[ Ì ]0,+¥[.

II.1.a En tout point x Î I, exprimer à l'aide de j(x) la valeur de la dérivée (x2j ¢(x))¢ et trouver son signe. (Corrigé)

II.1.b La fonction j présente-t-elle un minimum sur I? (Corrigé)

II.1.c Montrer que j est monotone sur I ou sur un sous-intervalle [a¢,b[ de même extrémité droite que I. (Corrigé)

II.2 Soient j1 et j2 deux solutions appartenant à S, distinctes l'une de l'autre, et toutes deux définies au moins sur un intervalle ]a,b[ Ì ]0,+¥[. On suppose qu'il existe un point x0 Î ]a,b[ tel que j1(x0)=j2(x0).

II.2.a Justifier l'inégalité j1¢(x0) ¹ j2¢(x0). (Corrigé)

II.2.b On choisit par exemple j1¢(x0) < j2 ¢(x0) et on fait l'hypothèse de travail
H1: il existe au moins un réel x Î ]xo,b[ tel que j 1(x)=j2(x)

En notant x1 la borne inférieure des réels x qui vérifient H1, exprimer pour tout x Î [x0,x1] la différence x2j 2¢(x)-x2j1¢(x) à l'aide de x02[j2¢(x0)- j1¢(x0)] et d'une intégrale ou interviennent j1 et j2. En déduire une comparaison entre j1¢(x) et j2¢(x) puis entre j1(x) et j2(x). L'hypothèse H1 est elle acceptable? (Corrigé)

II.3 Pour élucider l'allure lorsque x croit des graphes des solutions appartenant à S, on fait l'hypothèse de travail
H2: il existe une solution j appartenant à S et définie sur ]a,+¥[ avec a ³ 0
et on note g un point de ]a,+¥[.

II.3.a Comparer x2j ¢(x) et g2j ¢(g) pour tout x ³ g et en déduire que j est bornée sur [g,+¥[. (Corrigé)

II.3.b Lorsque x tend vers +¥, étudier le comportement de x2j ¢(x) et en déduire que j¢ tend vers -¥. (Corrigé)

II.3.c L'hypothèse H2 est-elle acceptable? (Corrigé)

II.4 Soit j une solution appartenant à S.

II.4.a Déduire de ce qui précède que son intervalle de définition ]a,b[ est borné. Quelle est la limite de j quand x tend vers b? (Corrigé)

II.4.b En supposant que j¢ a une limite finie l quand x tend vers b, majorer j au voisinage de b et en déduire pour x2j ¢(x) une majoration incompatible avec la convergence de j ¢ vers l. Quelle est la limite de j¢ quand x tend vers b? (Corrigé)

II.5 Dans cette question et la suivante, on suppose qu'il existe une solution j Î S définie sur un intervalle ]0,d[, ayant une limite finie non nulle en 0, et dont le prolongement continu à [0,d[, encore appelé y, est de classe C2 sur un intervalle fermé [0,c[ avec 0 < c < d.

II.5.a Quelle est la valeur de y ¢(0)? Quelle est le signe y ¢(c)? (Corrigé)

II.5.b Soit y1 Î S, définie sur ]a1,b1[ avec a1 < c < b1 et telle que y1(c) = y(c) et y1¢(c) < y¢(c). Vérifier que a1=0. Quand x tend vers 0, déterminer le signe de la limite de x2y1¢(x) -x2y¢(x) et en déduire la limite de y1¢, puis l'existence d'un minorant strictement positif pour xy1(x). Quelle est la limite de y1(x) quand x tend vers 0? (Corrigé)

II.5.c Déterminer le signe de (xy1(x))" et établir l'existence dans R d'un majorant indépendant de x Î ]0,b1[ pour xj1(x). Le produit xj1(x) a-t-il une limite finie non nulle lorsque x tend vers 0? (Corrigé)

II.5.d Soit y2 Î S, définie sur ]a2,b2[ avec a2 < c < b2 et telle que y2(c) = y(c) et y2¢(c) > y¢(c). Quel est le signe de x2y2¢(x) -x2y ¢(x) sur ]a2,c[? Minorer x2y 2¢(x) au voisinage au voisinage de a2 et en déduire que a2 ne peut être nul. Quelles sont les limites de y2 et de y2¢ quand x tend vers a2? (Corrigé)

II.6 En supposant les hypothèses de la question II.5 satisfaites pour c=1, dessiner sur un même schéma les graphes des différentes sortes de solutions appartenant à S et passant par le point (1,y(1)). (Corrigé)

III

L'objet principal de cette partie est d'établir l'existence et un procédé de calcul d'une solution y de (E) de classe C2 sur l'intervalle fermé [0,1] et ayant au point 1 une valeur y(1)=h > 0 fixée arbitrairement. Dans ces conditions, y ¢(0)=0.

III.1.a Pour tout x Î [0,1], exprimer à l'aide d'intégrales contenant chacune la fonction y les valeurs de x2y¢(x)- y¢(1) , de xy ¢(x)+y(x) -y ¢(1)-h et de y¢(1). (Corrigé)

III.1.b A toute fonction réelle f définie et continue sur [0,1] on associe la fonction T(f) définie sur [0,1] par


T(f)(0)= ó
õ
1

0 
(t-t2)f(t)dt

et, si x Î ]0,1]


T(f)(x)= æ
è
 1

x
-1 ö
ø
ó
õ
x

0 
t2f(t) dt + ó
õ
1

x 
(t-t2)f(t)

Vérifier l'égalité y = h+T(1/y). (Corrigé)

III.2.a Calculer les dérivées T(f)¢(x) et T(f)¢¢(x). Combien valent-elles pour x=0? Vérifier que T(f) est de classe C2 sur l'intervalle fermé [0,1]. (Corrigé)

III.2.b Montrer que si f est positive ou nulle sur [0,1], T(f) est strictement positive sur [0,1[, sauf pour un choix particulier de f que l'on précisera. Quelle est la valeur de T(f)(1)? (Corrigé)

III.2.c Vérifier la linéarité de l'application T ainsi définie de l'ensemble E des fonction réelles continues sur [0,1] dans l'ensemble F des fonctions réelles de classe C2 sur [0,1] et montrer qu'en posant ||f|| = sup |f(x)| pour 0 £ x £ 1 pour toute f Î E, on a ||T(f)|| £  1/6 ||f||. (Corrigé)

III.3 On défini par récurrence une suite de fonctions gn par g0=h et, pour tout entier n ³ 0,

gn+1 = h+T( 1

gn
)

III.3.a Vérifier que gn appartient à F pour tout n Î N. (Corrigé)

III.3.b Montrer que pour tout entier p ³ 0 on a g2p £ g2p+1 et que les sous-suites (g2p) et (g2p+1) sont l'une croissante et l'autre décroissante. (Corrigé)

III.3.c En déduire que la suite (g2p) converge simplement sur [0,1] vers une fonction réelle qu'on notera g et que la suite (g2p+1) converge simplement sur [0,1] vers une fonction réelle qu'on notera G. (Corrigé)

III.4.a Trouver un réel majorant pour tout n la valeur absolue de la dérivée gn¢. (Corrigé)

III.4.b En déduire que pour tout e > 0 il existe une partition de [0,1] en intervalles de longueurs égales tels que pour tout n, l'image par gn de chacun de ses intervalles soit un intervalle de longueur majorée par e. (Corrigé)

III.4.c Etablir que les convergences respectives des suites (g2p) et (g2p+1) sont toutes deux uniformes sur [0,1]. (Corrigé)

III.4.d En déduire les égalités
g = h+T(1/G) et G = h+T(1/g)

Les fonctions g et G appartiennent-elles à F? (Corrigé)

III.5 On définit sur [0,1] la fonction u par l'égalité u(x)=x[G(x)-g(x)].

III.5.a Donner les valeurs de u(0), u(1) et u¢(0). (Corrigé)

III.5.b Exprimer u" à l'aide de u(x), g(x), G(x). (Corrigé)

III.5.c Quelle est la fonction u? Comment obtient-on la solution y de (E) cherchée au début de cette partie III? (Corrigé)

III.6 Dessiner schématiquement le graphe d'une solution maximale de E passant par le point (0,1). Comment s'en déduisent les graphes des autres solutions maximales de E définies pour x=0 ? (Corrigé)

E-mail: eric.chopin@wanadoo.fr
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